VEPRIME ME FUNKSIONET E VAZHDUESHME

Teoremë 1. Në qoftë se funksionet f,g janë të vazhdueshme në pikën x = a, atëherë edhe funksioni s = f±g është i vazhdueshëm në pikën x = a.

Vërtetim

Meqë funksionet f dhe g janë të vazhdueshëm në pikën x = a, kemi

\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = f(a) , \displaystyle \lim_{x \to a}g(x) = g(a).

Nga teoremat mbi kalimin në limit do të kemi

\displaystyle \lim_{x \to a}[f(x)\pm g(x)] = \displaystyle \lim_{x \to a}f(x)\pm \displaystyle \lim_{x \to a}g(x)= f(a)\pm g(a).

Teoremë 2. Në qoftë se funksionet f,g janë të vazhdueshme në pikën x = a, atëherë edhe funksioni p = f∙g është i vazhdueshëm në pikën x = a.

Vërtetim

Meqë funksionet f dhe g janë të vazhdueshëm në pikën x = a, kemi

\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = f(a) , \displaystyle \lim_{x \to a}g(x) = g(a).

Nga teoremat mbi kalimin në limit do të kemi

\displaystyle \lim_{x \to a}[f(x)\cdot g(x)] = \displaystyle \lim_{x \to a}f(x)\cdot \displaystyle \lim_{x \to a}g(x)= f(a)\cdot g(a).

Teoremë 3. Në qoftë se funksionet f,g janë të vazhdueshme në pikën x = a dhe g(a) ≠ 0, atëherë edhe funksioni h = f/g është i vazhdueshëm në pikën x = a.

Vërtetim

Meqë funksionet f dhe g janë të vazhdueshëm në pikën x = a, kemi

\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = f(a) , \displaystyle \lim_{x \to a}g(x) = g(a).

Nga teoremat mbi kalimin në limit do të kemi

\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)}{\displaystyle \lim_{x \to a}g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}.

Teoremë 4. Në qoftë se funksionet f,g janë të vazhdueshme në pikën x = a atëherë edhe funksioni ΙfΙ është i vazhdueshëm në pikën x = a.

Vërtetim

Meqë funksionet f dhe g janë të vazhdueshëm në pikën x = a, kemi

\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = f(a) , \displaystyle \lim_{x \to a}g(x) = g(a).

Nga teoremat mbi kalimin në limit do të kemi

\displaystyle \lim_{x \to a}\left| f(x)\right| = \left| \displaystyle \lim_{x \to a}f(x)\right|=\left|f(a) \right|.

Prej këtej rrjedh se funksionet f±g, f∙g, f/g nëse g(a) ≠ 0 dhe ∣f∣ janë të vazhdueshme në pikën x = a.

Vazhdueshmëria e funksionit të përbërë

Le të jenë dhënë funksionet f: X → Y dhe g: Y’ → Z, ku Y ⊂ Y’. Supozojmë se funksioni f është i vazhdueshëm në pikën a dhe funksioni g ëstë i vazhdueshëm në pikën f(a).

Teoremë 5. Në qoftë se funksioni f është i vazhdueshëm në pikën a dhe funksioni g është i vazhdueshëm në pikën f(a), atëherë funksioni g o f është i vazhdueshëm në pikën a.

Referenca
Prof. Dr LORENC EKONOMI Hyrje në Analizën matematike．2016，pp.75-79．